tablica trygonometryczna sin cos tg ctg

Przydatne kalkulatory i narzędzia. Przelicznik kątów. W tabli poniżej przedstawiono wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów przedstawionych w radianach i stopniach. \ (\alpha\) \ (\text {sin} \: \alpha\) \ (\text {cos} \: \alpha\) \ (\text {tg} \: \alpha\) \ (\text {ctg} \: \alpha\) \ (\text {radiany}\) 1sin cos tg ctg 1 (sin cos ) 3 1 sin cos 3 6 x 6 x 6 x 6 x Pokušaćemo da transformišemo izraz sin6 x cos6 x Podjimo od sin2 x cos2 x 1 pa ‘’dignemo’’ na treći stepen: (A B)3 A3 3A2B 3AB2 B3 sin 3sin cos (sin cos ) cos 1 sin 3sin cos 3sin cos cos 1 sin cos 1/() 6 1 6 2 2 2 2 6 4 2 2 4 6 2 2 3 sin sin cos cos tg tg ctg ctg ab cc ba cc ab ba ba ab αβ αβ αβ αβ = = = = = = = = sin cos sin cis cos sin 221 tg ctg αα α α α α α α + = = = 1−strana Većinu ovih zadataka sam rješavao daleke 1998.g. na računalu ATARI ovo su samo skenirane stranice iz te skripte pa vam otisak možda neće uvijek biti najbolje kvalitete 60. 60. stopni. Najczęściej spotykanymi w zadaniach miarami kątów, dla których przyjdzie nam liczyć funkcje trygonometryczne są: 30^ {\circ} 30∘, 45^ {\circ} 45∘ i 60^ {\circ} 60∘. Wartości funkcji trygonometrycznych, dla tych kątów mamy stablicowane: \cos 45^ {\circ} =\ cos45∘ = \frac {\sqrt {2}} {2} 22. Warto zauważyć, że Calculate Arcsine, Arccosine, Arctangent, Arccotangent, Arcsecant and Arccosecant for values of x and get answers in degrees, ratians and pi. Graphs for inverse trigonometric functions. nonton film korea a man and a woman. α [°] sin α cosβ tg α β [°] 0 0,0000 0,0000 90 1 0,0175 0,0175 89 2 0,0349 0,0349 88 3 0,0523 0,0524 87 4 0,0698 0,0699 86 5 0,0872 0,0875 85 6 0,1045 0,1051 84 7 0,1219 0,1228 83 8 0,1392 0,1405 82 9 0,1564 0,1584td> 81 10 0,1736 0,1763 80 11 0,1908 0,1944 79 12 0,2079 0,2126 78 13 0,2250 0,2309 77 14 0,2419 0,2493 76 15 0,2588 0,2679 75 16 0,2756 0,2867 74 17 0,2924 0,3057 73 18 0,3090 0,3249 72 19 0,3256 0,3443 71 20 0,3420 0,3640 70 21 0,3584 0,3839 69 22 0,3746 0,3746 68 23 0,3907 0,4245 67 24 0,4067 0,4452 66 25 0,4226 0,4663 65 26 0,4384 0,4877 64 27 0,4540 0,5095 63 28 0,4695 0,5317 62 29 0,4848 0,5543 61 30 0,5000 0,5774 60 31 0,5150 0,6009 59 32 0,5299 0,6249 58 33 0,5446 0,6494 57 34 0,5592 0,6745 56 35 0,5736 0,7002 55 36 0,5878 0,7265 54 37 0,6018 0,7536 53 38 0,6157 0,7813 52 39 0,6293 0,8098 51 40 0,6428 0,8391 50 41 0,6561 0,8693 49 42 0,6691 0,9004 48 43 0,6820 0,9325 47 44 0,6947 0,9657 46 45 0,7071 1,0000 45 α [°] sin α cosβ tg α β [°] 46 0,7193 1,0355 44 47 0,7314 1,0724 43 48 0,7431 1,1106 42 49 0,7547 1,1504 41 50 0,7660 1,1918 40 51 0,7771 1,2349 39 52 0,7880 1,2799 38 53 0,7986 1,3270 37 54 0,8090 1,3764 36 55 0,8192 1,4281 35 56 0,8290 1,4826 34 57 0,8387 1,5399 33 58 0,8480 1,6003 32 59 0,8572 1,6643 31 60 0,8660 1,7321 30 61 0,8746 1,8040 29 62 0,8829 1,8807 28 63 0,8910 1,9626 27 64 0,8988 2,0503 26 65 0,9063 2,1445 25 66 0,9135 2,2460 24 67 0,9205 2,3559 23 68 0,9272 2,4751 22 69 0,9336 2,6051 21 70 0,9397 2,7475 20 71 0,9455 2,9042 19 72 0,9511 3,0777 18 73 0,9563 3,2709 17 74 0,9613 3,4874 16 75 0,9659 3,7321 15 76 0,9703 4,0108 14 77 0,9744 4,3315 13 78 0,9781 4,7046 12 79 0,9816 5,1446 11 80 0,9848 5,6713 10 81 0,9877 6,3138 9 82 0,9903 7,1154 8 83 0,9925 8,1443 7 84 0,9945 9,5144 6 85 0,9962 11,4301 5 86 0,9976 14,3007 4 87 0,9986 19,0811 3 88 0,9994 28,6363 2 89 0,9998 57,2900 1 90 1,0000 – 0 16 lipca, 2016 9 marca, 2018 Tablice trygonometryczne sin, cos, tg, ctg dla podstawowych kątów z przedziału 0-360 stopni. We wpisie znajdują się tabele podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych. Przejdź do spisu treści Tablica sinusów: Tablica cosinusów: Tablica tangensów: Tablica cotangensów: Zadania z trygonometrii Interaktywne tablice trygonometryczne online Interaktywne tablice trygonometryczne online: sin, cos, tg, ctg dla kątów 0-360 z dokładnością z zakresu 0-9 miejsca po przecinku. Spis treści Tablice sinus (tablice sinusów) Tablice cosinus (tablice cosinusów) Tablice tangens (tablice tangensów) Tablice cotangens (tablice cotangensów) Przykładowe zadania: Zadanie 17, Matura 2017 poziom podstawowy Książki: Tablice matematyczne Witold Mizerski [buybox-widget category="book" ean="9788373503175"] Interaktywne tablice trygonometryczne online: sin, cos, tg, ctg dla kątów 0-360 z dokładnością z zakresu 0-9 miejsca po przecinku. Tablice 4: Cotangens Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość cotangensa tego kąta. Tablice 3: Tangens Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość tangensa tego kąta. Tablice 2: Cosinus Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość cosinusa tego kąta. Tablice 1: Sinus Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość sinusa tego kąta. Uzmimo x-osu i y-osu koordinatnog sistema i O za koordinatni početak. Kružnicu sa centrom u O poluprečnika = 1 zovemo trigonometrijska kružnica ili jedinična kružnica. Ako je P tačka kružnice i t ugao između PO i x onda: x-koordinatu tačke P zovemo kosinus ugla t. Pišemo: cos(t); y-koordinatu tačke P zovemo sinus ugla t. Pišemo: sin(t); broj sin(t)/cos(t) zovemo tangens ugla t. Pišemo: tg(t); broj cos(t)/sin(t) zovemo kotangens ugla t. Pišemo: ctg(t). Sinusna funkcija sin : R -> R Sve trigonometrijske funkcije su periodične. Period sinusne funkcije je 2π. Kodomen: [-1,1]. Kosinusna funkcija cos : R -> R Period kosinusne funkcije je 2π. Kodomen: [-1,1]. Tangensna funkcija tg : R -> R Kodomen: R. Period je π a funkcija nije definisana za x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,... Kotangensna funkcija ctg : R -> R Kodomen: R. Period je π a funkcija nije definisana za x = kπ, k=0,1,2,... Vrednosti sin, cos, tg, ctg za uglove 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360° $\alpha^o$ $0^o$ $30^o$ $45^o$ $60^o$ $90^o$ $120^o$ $135^o$ $150^o$ $180^o$ $210^o$ $225^o$ $240^o$ $270^o$ $300^o$ $315^o$ $330^o$ $360^o$ $\alpha rad$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{7\pi}{6}$ $\frac{5\pi}{4}$ $\frac{4\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{7\pi}{4}$ $\frac{11\pi}{6}$ $2\pi$ $sin\alpha$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $cos\alpha$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $tg\alpha$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $ctg\alpha$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$ Najlakši način za pamćenje vrednosti funkcija sin i cos za uglove 0°, 30°, 60°, 90°: sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = sqrt([0, 1, 2, 3, 4]/4) Trigonometrijski identiteti Uglu od t radiana odgovara tačno jedna tačka P(cos(t),sin(t)) na jediničnoj kružnici. Udaljenost [OP] = 1. Izračunavanje rastojanja tačke P za svako t: cos2(t) + sin2(t) = 1 Ako je t + t' = 180° onda je: sin(t) = sin(t') cos(t) = -cos(t') tg(t) = -tg(t') ctg(t) = -ctg(t') Ako je t + t' = 90° onda je: sin(t) = cos(t') cos(t) = sin(t') tg(t) = ctg(t') ctg(t) = tg(t') $-\alpha$ $90^\circ - \alpha$ $90^\circ + \alpha$ $180^\circ - \alpha$ $\textrm{ sin }$ $-\textrm{ sin }\alpha$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ cos } \alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$ $\textrm{ cos }$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$ $-\textrm{ sin} \alpha$ $-\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ tg }$ $-\textrm{ tg }\alpha$ $\textrm{ ctg }\alpha$ $-\textrm{ ctg } \alpha$ $-\textrm{ tg }\alpha$ $\textrm{ ctg }$ $-\textrm{ ctg }\alpha$ $\textrm{ tg }\alpha$ $-\textrm{ tg } \alpha$ $-\textrm{ ctg }\alpha$ Trigonometrijske formule Formule polovičnog ugle $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili || - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu ||| ili |V $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili |V - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili ||| $tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili ||| - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili |V $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili ||| - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili |V $\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$ $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$ Formule dvostrukog/trostrukog ugla $\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$ $\cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 2\cos^2(u) - 1 = 1 - 2\sin^2(u)$ $\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }^2(u)}$ $\cos(2u) = \frac{1 - \textrm{ tg }^2(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$ $\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$ $\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4 \sin^3\alpha$ $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3 \cos\alpha$ $\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }^3\alpha}{1-3\textrm{ tg }^2\alpha}$ $\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }^2\alpha-1}$ $\sin4\alpha = 4\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha \sin^3\alpha$ $\cos4\alpha = \cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$ $\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha - 4\textrm{ tg }^3\alpha}{1-6\textrm{ tg }^2\alpha+\textrm{ tg }^4\alpha}$ $\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^4\alpha-6\textrm{ ctg }^2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }^3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$ Stepenovanje funkcija $\sin^2(\alpha)=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ $\sin^3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$ $\sin^4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) - 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$ $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ $\cos^3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$ $\cos^4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$ Funkcije zbira i razlike $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 - \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$ $\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$ $\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma - \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ $\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $ $- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma - \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta - \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$ Zbir i razlika funkcija $\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ sin } \alpha - \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$ $\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ cos } \alpha - \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$ $\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha - \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$ $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) - \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$ $\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$ $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha - \beta))$ $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$ $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$ $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$ $1\pm\sin\alpha=2\sin^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$ $\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$ $\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }^2\frac{\alpha}{2}$ $\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ $\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$ $\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha - 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$ $\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$

tablica trygonometryczna sin cos tg ctg